solusi SPL(aturan cramer, metode invers matriks, eliminasi gauss, eliminasi gauss jordan)

Solusi SPL

Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah :

a.x = b

dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.

Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R =  V

Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :

                        a11x1 + a12x2 = b1

                        a21x1 + a22x2 = b2

Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :

  a 1x  + a2 y = b

Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.

Secara umum persamaan linear dalam n peubah  x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn    = b

dengan   a1, a2, a3,……………..an     dan b merupakan konstanta bilangan riil

contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :

• a.       X + 3y  = 7
• b.      X + 3 y2 = 7
• c.       3x + 2y  - z + xz  = 4
• d.      Y = ½ x  + 3z + 1
• e.       Y – sin x = 0
• f.         + 2x2 ++ x3 =1

Jawab:

Persamaan a dan d termasuk persamaan linear

Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2

Persamaan c bukan persamaan linear  karema melibatkan perkalian peubah

Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri

Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah

B. sistem Persamaan Linear

Sebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah x1, x2, x3……..xndinamakan system persamaan linear atau system linear

Contoh :

4x1 – x2 + 3x3 =-1

3x1 + x2 + 9x3 = -4

X1 2x2 -3x3 =3

 X – y =2

X + 2y = 5

Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.

Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:

X -2y = 8
3x +y = 3

x1 +2x2 –x3 =3
2x1 –x2 +3x3 = -4
3x1 +x2 + x3 = 1

Jawab:

a.       X -2y = 8

3x +y = 3

Untuk memecahkan SPL  tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :

Aturan Cramer

kita punya persamaan x1 + 2x2 = 6 dan -3x1 +4x2 = 4. Biasanya kita menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Tapi saya akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda yaitu dengan memanfaatkan determinan matriks, metode ini dinamakann Aturan Cramer. Metode ini untuk menyelesaikan persamaan seperti diatas atau lebih umum mencari solusi dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui. Rumus yang akan digunakan pada Aturan Cramer ini dijamin pada teorema dibawah ini.

Teorema :

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A)  0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah

x1 = , x2 = , …, xn = 

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.

B =

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 – 2x2 + 3x3 = 8

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks

A = 

Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu . Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan , begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini.

A1 = , A2 = , A3 = .

Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menggunakan menghitung determinan menggunakan kofaktor.

det(A) = 

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 – 0 + 2

= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]

= 24 – 0 – 20

= 44

det(A1) = 

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 6 – 0 + 2

= 6[4(3)-6(-2)] – 0[30(3)-6(8)] + 2[30(-2)-4(8)]

= 144 – 0 – 184

= -40

det(A2) = 

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 – 6 + 2

= 1[30(3)-6(8)] – 6[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(8)-30(-1)]

= 42 + 18 + 12

= 72

det(A3) = 

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 – 0 + 6

= 1[4(8)-30(-2)] – 0[-3(8)-30(-1)] + 6[-3(-2)-4(-1)]

= 92 – 0 + 60

= 152

Berdasarkan Teorema diatas, maka diperoleh :

x1 =  =  = 

x2 =  =  = 

x3 =  =  = 

Metode Invers Matriks (MIM) 

Untuk SPLDV

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel :

Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu :

Sehingga untuk mencari solusi dari x dan y adalah :

dengan .
Jadi, solusi SPLDV adalah x dan y, serta Hp SPLDV = {(x,y)}.

Contoh Soal :

1. Nilai x yang memenuhi SPLDV

adalah …

Penyelesaian :

Sistem persamaan tersebut dapat diubah dalam bentuk matriks menjadi :

Sehingga,

Jadi Hp={(3,2)}. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah 3.

2. Himpunann penyelesaian dari SPLDV :

adalah (a,b). Nilai (a.b) sama dengan … (MPC 2010)

Penyelesaian :
Persamaan matriks dari SPLDV tersebut adalah :

Maka nilai a = -5 dan b = 0.
Jadi a . b = (-5)(0) = 0.

3. Untuk sistem persamaan dua variabel
,
nilai  = …

Penyelesaian :

Maka Himpunan penyelesaian = {(8,12)}. Sehingga nilai .

4. Himpunan penyelesaian dari SPLDV :

adalah … (MPC 2012)

Penyelesaian :

Persamaan matriks dari SPLDV adalah :

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri-ciri Eliminasi Gauss

• Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol ada 1(1 utama).
• Baris nol terletak paling bawah.
• 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya.
• Dibawah 1 utama harus nol.

Contoh Penyelesaiannya dalam sebuah matriks ber ordo 3x3

rumus baris 2 kolom 1 menjadi 0 yaitu kalikan -2 dengan baris 1 kemudian ditambahkan baris 2 (-2.b1+b2)

rumus baris 3 kolom 1 menjadi 0 yaitu kalikan -3 dengan baris 1 kemudian ditambahkan baris 2 (-3.b1+b3)


rumus baris 3 kolom 3 menjadi 1 yaitu kalikan -1 dengan baris 3 (-1.b3)

Terlihat nilai determinan dari matriks  adalah 0. Karena D=0, maka matriks  tidak mempunyai invers.

Jadi, solusi dari SPLDV tersebut tidak ada. Hal ini berarti Hp = { } atau .

Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss Jordan adalah Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887. Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat menyelesaikan matriks. Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas. Eliminasi Gauss Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel variabelnya tanpa substitusi balik.
Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.

Kelebihan dan Keuntungan :
Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat menyelesaikan matriks invers.

Contoh Penyelesaiannya dalam sebuah matriks ber ordo 3x3

rumus baris 2 kolom 1 menjadi 0 yaitu kalikan -2 dengan baris 1 kemudian ditambahkan baris 2 (-2.b1+b2)

rumus baris 3 kolom 1 menjadi 0 yaitu kalikan -3 dengan baris 1 kemudian ditambahkan baris 2 (-3.b1+b3)


rumus baris 3 kolom 3 menjadi 1 yaitu kalikan -1 dengan baris 3 kolom 3 (-1.b33)

rumus baris 2 kolom 3 menjadi 0 yaitu tambahkan -1 dengan baris 2 kolom 3 (-1+b23)

rumus baris 1 kolom 3 menjadi 0 yaitu  tambahkan -3 dengan baris 1 kolom 3 (-3+b13)

rumus baris 1 kolom 2 menjadi 0 yaitu tambahkan -2 dengan baris 1 kolom 2 (-2+b12)

.