SPL

Persamaan Linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem Koordinat Kartesius.

Bentuk Umum Persamaan Linear : 
Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. persamaan lain seperti ini seperti X^3,Y^1/2, dan XY bukanlah persamaan Linear.


Pembagian Solusi Sistem Persamaan Linear : 

Sistem persamaan linear memiliki pembagian solusi sebagai berikut : 



Untuk mengetahui atau mencari apakah sebuah persamaan liner itu memiliki solusi atau tidak, hal itu bisa kita lihat melalui garis pada koordinat kortesius. 


Cara Merubah Sistem Persamaan Linear ke Bentuk Matriks

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
Dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
\begin{bmatrix} 3 & 4 & -2 & 5\\ 1 & -5 & 2 & 7\\ 2 & 1 & -3 & 9\\ \end{bmatrix}

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL)

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
  • Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
  • Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
  • Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
  • Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh:
  • syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & -8 & 8\\ \end{bmatrix}
  • syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}
  • syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & 1 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}
  • syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6\\ \end{bmatrix}

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.


Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Eliminasi Gauss-jordan.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.






Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

kisah pebisnis Gofar

kisah singkat dari seorang pebisnis oleh Gofar Hilman   sebuah tempat untuk owner seneng2 yg mendorong lahirnya lawles : masing masing owner BU  proses kreatif : mempunyai ide lalu di rembukan bersama kreativ dan inovatif menurut gofar hilman :  dua cara untuk bertahan hidup. kalau lu ga gitu lu akan mati. lawles : Berawal dari kejenuhan akan aksesoris untuk bermotor yang terlalu ketinggalan zaman, Gofar Hilman dan keempat temannya memulai bisnis ini. Lawless Jakarta merupakan sebuah store yang berisi tiga elemen penting yaitu motor, musik dan tato. ketiga hal ini merupakan hobi dari para pemilik Lawless Jakarta. Dengan bermodal kesukaan yang sama, akhirnya Gofar, Arian, Sammy, Ucup dan Roni sepakat untuk membangun Lawless Jakarta pada tahun 2011 silam. Lawless awalnya merupakan gabungan dari dua toko yaitu Pistone (sebuah toko yang menjual dan memodifikasi motor klasik) dan Howling Wolf (sebuah toko yang menjual merchandise band dan studio tattoo). Sasaran
Baca selengkapnya

solusi SPL(aturan cramer, metode invers matriks, eliminasi gauss, eliminasi gauss jordan)

Gambar
Solusi SPL Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah : a.x = b dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya. Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik :  I X R =  V Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :                         a 11 x 1  + a 12 x 2  = b 1                         a 21 x 1  + a 22 x 2  = b 2 Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :   a  1 x    + a 2  y = b Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y. Secara umum persamaan linear dalam n peubah  x 1,  x 2, ………..x n  didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk : a 1  x 1  + x 2  x 2 
Baca selengkapnya

Nilai dan Vektor Eigen

Gambar
Nilai Eigen ( {\displaystyle \lambda } ) adalah nilai karakteristik dari suatu  matriks  berukuran n x n, sementara vektor Eigen ( {\displaystyle x} ) adalah  vektor kolom  bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan  elemen   bilangan real  dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa  bilangan kompleks .  Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang matematika murni dan matematika terapan  seperti transformasi linear Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari  {\displaystyle \lambda } merupakan kumpulan vektor Eige
Baca selengkapnya