Transformasi Linear

TRANSFORMASI LINEAR

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakantransformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakan Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika Fmengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalah R². Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnya F:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di V dan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor diR^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan : T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan atau secara ekivalen kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Contoh 2

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya  adalah sebuah sudut tetap, dan misalnya T :2ⁿàR² adalah perkalian oleh matriks jika v adalah vektor

Maka

Secara geometris, maka  adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikann melalui sudut . Untuk melihat ini, maka misalkan  adalah sudut diantara v dan sumbu x positif, dan misalkan adalah vektor yang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut  pada gambar di bawah. Kita akan memperlihatkan jika r menyatakan panjangnya sebagai v, maka demikian juga, karena  mempunyai panjang yang sama seperti v, maka kita peroleh sehingga transformasi linear pada contoh ini kita namakan perputaran R² melalui sudut .

Contoh 3

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor berdimensi n dan S = ( w₁, w₂,…….., w_n) adalah sebuah basis tetap untuk V. Menurut Teorema 29 dari bagian 4.10 maka sebarang dua vektor dan v di V dapat dituliskan secara unik dalam bentuk

Jadi

Tetapi

Sehingga

Maka

Demikian juga, untuk matriks koordinat kita peroleh

Misalkan kita ambil T : V à Rⁿsebagai fungsi yang memetakan sebuah vektor v di V dimana vektor koordinatnya bersesuaian terhadap S ; yakni

Maka rumus-rumus di T, pada a dan b menyatakan bahwa

Dan

Jadi, T adalah transformasi linear dari V ke dalam Rⁿ.

B.     SIFAT TRANSFORMASI LINEAR : KERNEL DAN JANGKAUAN

Pada  bagian ini kita mengembangkan beberapa sifat dasar transformasi linear. Khususnya, kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya dalam ruang tersebut.

Teorema 1. Jika T:V W adalah transformasi linier, maka : (a)    T(0)  = 0 (b)   T(-v) = -T(v) untuksemua v di V (c)    T(v-w) = T(v) – T(w) untuksemu v dan w di V.

  

Bukti, Misal v adalah sebarang vektor di V. Karena 0v = 0 maka kita peroleh

T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0

Yang membuktikan (a).

            Juga, T(-v) = T [(-1)v] = (-1)T(v) –T(v), yang membuktikan (b).

            Akhirnya, v - w = v + (-1)w; jadi

T(v-w) = T(v + (-1)w)

= T(v) + (-1) T(w)

= T(v) – T(w)

Definisi.Jika T:V         W adalahtransformasi linear, makahimpuanvektor di V yang dipetakan T kedalam 0 kitanamakankernel (ruangnol) dari T; himpuantersebutdinyatakanolehker (T). Himpunansemuavektor di W yang merupakanbayangan di bawah T dari paling sedikitatauvektor di V kitanamakanjangkauandari T; himpunantersebutdinyatakanoleh  R(T).

                        

Teorema 2. Jika V:T       W adalahtransformasi linear, maka : (a)    Kernel dari T adalahsubruangdari  V. (b)   Jangkauandari T adalahsubruangdari W.

                                                                                                                                                           Bukti. 
(a)    Untuk memperlihatkan  bahwa ker(T) adalah subruang, maka kita harus memperlihatkan                 bahwa  ker(T) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v₁ dan           v₂ adalah vektor-vektor  dalam ker(T), dan misalkan k adalah sebarang skalar. Maka

T (v₁ + v₂ )       = T(v₁) + T(v₂)

 = 0 + 0 = 0

       Sehingga v₁ + v₂ berada dalam ker(T). Juga,

                                             T(k v₁) = kT(v₁) = k0 =0

       Sehingga k v₁  berada dalam ker(T).

(b)         Misalkan w_{1 dan} w₂ adalah vektor  dalam jangkauan T. Untuk membuktikan bagian ini maka harus kita perlihatkan bahwa w₁ + w₂ dan k w₁ berada dalam jangkauan T untuk sebarang skalar k; yakni, kita harus mencari vektor a dan b di V sehingga T(a) = w₁ + w₂  dan T(b) = k w₁. Karena w₁ dan w₂ berada dalam jangkauan T, maka vektor a₁ dan a₂ dalam V sehingga T(a₁) = w₁ dan T(a₂) = w₂. Misalkan a = a₁ +a₂ dan b = ka₁. Maka

                                    T(a) = T(ka₁) = kT(a₁) = kw₁

Yang melengkapkan bukti tersebut.

Definisi.Jika T:V         W adalahtransformasi linear, makadimensijangkauandari T dinamkanrankT, dandimensi kernel dinamakannulitas (nullity) T.

  

    Teorema kita berikutnya menghasilkan hubungan diantara rank dan nulitasn dari transformasi linear yang yang didefinisikan pada ruang vektor berdimensi berhingga. Kita akan menagguhkan buktinya hingga ke akhir bagian ini.

Teorema 3: (TeoremaDimensi).  Jika T:V W adalahtransformasi linear dariruang vector V yang berdimensi n kepadasebuahruang vector W, maka (rankdari T) + (nulitasdari T) = n……(5.4)

     Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya.

 Dalam kasus-kasus ndimana V = Rⁿ , W = R^m , dan T:V à W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n , berikutnya dari (5.4) dan contoh lain diatas bahwa:

                                    Rank(A) = dim(ruang pemecahan Ax = 0) = n

Teorema 4. Jika A adalahmatriks m x n makadimensiruangpemecahandari Ax = 0 adalah n = rank(A)

Jadi, kita punya teorema berikut. 

Jelasnya, teorema ini menyatakan bahwa dimensi ruang pemecahan Ax = 0 sama dengan jumlah kolom A kurang rank A.

PERNYATAAN. Karena system linear homogen Ax = 0 harus konsisten, berikutnya dari teorema 18. Bagian 4.6 bahwa rank matriks A sama dengan jumlah parameter dalam pemecahan Ax = 0. Dengan menggunakan hasil ini dengan teorema 4, selanjutnya dengan mengacu pada ruang pemecahan Ax = 0 akan sama dengan jumlah kolom A kurang jumlah parameter dalam pemecahan Ax= 0

Contoh

Pada contoh contoh sebelumnya kita telah memperlihatkan bahwa system homogeny

                                    2x₁ + 2x₂ – x₃   +x₅ = 0

                                    -x₁ + x_{2 +} 2x₃ – 3x₄  + x₅ = 0

                                     X₁  +x₂ – 2x₃      - x₅ = 0

                                                  X₃  +  x₄  + x₅  = 0

Mempunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan system tersebut dan dengan mencari sebuah basis. Karena matriks koefisien

Sehingga rank (A) = 3. Anda dapat memeriksa hasil ini dengan mereduksi A pada bentuk eselon baris dan dengan memperlihatkan bahwa matriks yang dihasilkan mempunyai tiga baris tak 0.

Bukti teorema 3.

Kita harus memperlihatkan bahwa Dim [R(T)] + dim [ker(T] + n Kita akan memberikan bukti tersebut untuk kasus dimana 1≤dim[ker(T)≤. Kasus dim[ker(T)] = 0 dan dim [ker(T)] = n sengaja kami biarkansebagai latihan anda. Anggaplah dim [ker(T)] = r, dan misalkan v₁,…., v_r adalah sebuah basis untuk kernel tersebut. Karena {v₁,……,v_r} bebas linear, maka bagian (c) dari teorema 11 dalam bagian 4.5 menyatakan bahwa terdapat n-r vector, v_r+1,….v_n, sehingga {v₁, …, v_r, v_r+1, …,v_n} adalah sebuah basisi untuk V. untuk melengkapkan bukti tersebut, kita akan memperlihatkan bahwa vector ke n-r dalam himpunan S= {T(v_r+1),…, T(v_n) membentuk sebuah basis untuk jangkauan T. maka jelaslah bahwa :

Mula-mula kita memperlihatkan bahwa S merentang jangkauan T. jika b adalah sembarang vector dalam jangkauan T, makan b = T(v) untuk suatu vector v dalam V. karena {v₁, …, v_r, v_r+1, …,v_n} adalah basis untuk V, maka dapat dituliskan dalam bentuk karena v₁,…, v_r terletak dalam kernel T, maka T(v₁) = … = T(v_r) = 0, sehingga jadi, S merentang jangkauan T.

   Akhirnya, kita memperlihatkan bahwa S adalah sebuah himpunan bebhas dan sebagai konsekuansinya maka akan membentuk basis untuk jangkauan T. misalkan suatu kombinasi linear dari vector-vektor di S adalah nol; yakni,

Kita harus memperlihatkan bahwa k_r+1 = … = k_n =0. Karena T linear,maka (5,5) dapat dituliskan kembali sebagai yang mengatakan bahwa k_r+1v_r+1 + … + k_nv_n = berada dalam kernel T. maka vector ini dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis {v₁, …, v_r} katakanlah,

Jadi,

Karena {v₁, …, v_n} bebas linear, maka semuanya k sama dengan nol; khususnya k_r+1 = … = k_n =0, yang melengkapi bukti tersebut .